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Regelungstechnik: PID Regler einstellen mittels Iteration

Für einen stabilen Regelkreis müssen die Reglerparameter so eingestellt werden, dass keine Schwingungen auftreten. Es gibt verschiedene Methoden, um die Parameter aus der Sprungantwort oder der Oszillation des Regelkreises zu schätzen.

Mit dem Computer ist es allerdings auch möglich, die Sprungantwort des Regelkreises mittels iterativer Verfahren an die gewünschte Kurvenform anzupassen. Dazu wird eine Bewertungsfunktion aufgestellt, die ein Maß für die Abweichung von der Idealkurve ist und die von den Reglerparametern abhängt. Von dieser Bewertungsfunktion wird iterativ das Minimum gesucht. Die Schwierigkeit ist dabei, dass die Bewertungsfunktion im allgemeinen nicht nur ein Minimum hat, sondern viele lokale Minima.

Als Iterationsverfahren kommen solche in Frage die keine erste Ableitung benötigen, da die Bewertungsfunktion im allgemeinen nicht differenzierbar ist. Ich verwende hier die Methode der lokalen Variation und die differentielle Evolution.

Differentielle Evolution

Die differentielle Evolution ist eine Variante der genetischen Algorithmen, die speziell für Funktionen mit reellen Parametern optimiert ist. Sie ist damit eine intelligente zufallsbasierte Suche.

Vorteile	Nachteile
sucht den gesamten Parameterraum ab kann das globale Minimum finden die Suche beschränkt sich nicht nur auf ein lokales Minimum	hoher Rechenaufwand findet, da zufallsbasiert, nicht exakt das Minimum

Lokale Variation

Bei der Methode der lokalen Variation werden die Parameter variiert, um einen besseren Wert für das Minimum zu erhalten.

Vorteile	Nachteile
weniger Rechenaufwand findet exakt das lokale Minimum	findet nur lokale Minimas benötigt einen Startwert

Regelkreis

Zuerst muss der Regelkreis in der Tabelle definiert werden. Dazu wird in der Zeile der Typ des Übertragungsglieds ausgewählt. Die Parameter können in den Spalten dahinter eingestellt werden. Mit dem Button Start wird die Sprungantwort des Regelkreises gezeichnet.

Parameter der Regelstrecke

Nummer	Übertragungsglied	Parameter K	Parameter T	Parameter D	Übertragungsfunktion
1	nichts P PT1 PT2 Totzeit I D PD1
2	nichts P PT1 PT2 Totzeit I D PD1
3	nichts P PT1 PT2 Totzeit I D PD1
4	nichts P PT1 PT2 Totzeit I D PD1

Parameter der Simulation der Sprungantwort

Die Sprungantwort wird für die Optimierung des Reglers verwendet. Die Bewertungsfunktion gibt an, wie gut die Sprungantwort mit der Vorgabe übereinstimmt.

Sprunghöhe
Sprungzeit
Endzeit der Simulation

Parameter des PID Reglers

Die Parameter des PID-Reglers werden für die Methode der lokalen Variation als Startwerte verwendet. Die differentielle Evolution benötigt keine Startwerte. Es ist sinnvoll, zuerst mit der differentiellen Evolution die Werte berechnen zu lassen und das Ergebnis danach mit der lokalen Variation zu verbessern.

Regler	Parameter Kp	Parameter Ki	Parameter Kd	Begrenzung u min	Begrenzung u max	Übertragungsfunktion
PID						$$K_p + \frac{K_i}{s} +K_d \cdot s$$

Parameter für die Optimierung des PID Reglers

Die Bewertungsfunktion für die Optimierung des Reglers setzt sich aus drei Komponenten zusammen. Die erste Komponente ist die Abweichung des Ausgangs y(t) von der Führungsgröße w(t) als Summe der Fehlerquadrate. Die Wichtung ist eins. Die beiden anderen Komponenten sind das Überschwingen und die Ausgabe des Reglers, also der Wert der Stellgröße.

Maximale Anzahl Iterationsschritte
Maximales Überschwingen in Prozent
Wichtung Output Regler
Wichtung Überschwingen

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Download Sourcecode der hier verwendeten Algorithmen.